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  • Propriété vraie presque partout sur un intervalle

    Formulaire de report

    Définition

    Egalité

    On dit que \(f=g\) presque partout sur \(I\) si l'ensemble des points \(t\) de \(I\) tels que \(f(t)\neq g(t)\) est un ensemble négligeable
    On écrit alors $$f\overset{pp}=g$$ sur \(I\)

    Comparaison

    On dit que \(f\leqslant g\) presque partout sur \(I\) si l'ensemble des points \(t\) de \(I\) tels que \(f(t)\gt g(t)\) est un ensemble négligeable
    On écrit alors $$f\overset{pp}\leqslant g$$ sur \(I\)

    Convergence

    On dit que la suite \(f_n,\in{\Bbb N}\) converge presque partout vers \(f\) si l'ensemble des points \(t\) de \(I\) tels que \(f_n(t)\) n'aie pas pour limite \(f(t)\) est négligeable
    On écrit alors $$f_n\overset{pp}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} f$$ sur \(I\)

    (Fonction - Application, Fonction - Application, Suite convergente, Ensemble négligeable)

    Formules utiles

    Transitivité

    $$\left( f\overset{pp}=g\quad\text{ et }\quad {{g\overset{pp}=h}}\right)\implies {{f\overset{pp}=h}}$$

    Passage à l'intégrale

    $${{f\overset{pp}=g}}\implies{{\int_If(t)\,dt=\int_Ig(t)\,dt}}$$

    Passage de la positivité à la nullité

    $$\left( {{f\overset{pp}\leqslant 0}}\quad\text{ et }\quad{{\int_If(t)\,dt=0}}\right)\implies {{f\overset{pp}=0}}$$

    En particulier...

    $$\left({{\int_I\lvert f(t)-g(t)\rvert\,dt=0}}\quad\text{ ou }\quad{{\int_I\lvert f(t)-g(t)\rvert^2\,dt=0}}\right)\implies {{f\overset{pp}=g}}$$


  • Rétroliens :
    • Espace L1 - Ensemble des signaux stables
    • Espace L2 - Ensemble des signaux d’énergie finie
    • Intégrale - Intégration